Thuật toán về số và số nguyên tố

CÁC THUẬT TOÁN VỀ SỐ

THUẬT TOÁN KIỂM TRA SỐ NGUYÊN TỐ

Thuật toán của ta  dựa trên ý tưởng: nếu n >1 không chia hết cho số nguyên nào trong tất cả các số từ 2 đến  thì n là số nguyên tố. Do đó ta sẽ kiểm tra tất cả các số nguyên từ 2 đến có round(sqrt(n)), nếu n không chia hết cho số nào trong đó thì n là số nguyên tố.

Nếu thấy biểu thức round(sqrt(n)) khó viết thì ta có thể kiểm tra từ 2 đến n div 2.

Hàm kiểm tra nguyên tố nhận vào một số nguyên n và trả lại kết quả là true (đúng) nếu n là nguyên tố và trả lại false nếu n không là số nguyên tố.

func­tion ng­to(n:in­te­ger):boolean;

var i:in­te­ger;

be­gin

    ng­to:=false;

    if n<2 then ex­it;

    for i:=2 to trunc(sqrt(n)) do

        if n mod i=0 then ex­it; {nếu n chia hết cho i thì n không là nguyên tố => thoát luôn}

    ng­to:=true;

end;

Chú ý: Dựa trên hàm kiểm tra nguyên tố, ta có thể tìm các số nguyên tố từ 1 đến n bằng cách cho i chạy từ 1 đến n và gọi hàm kiểm tra nguyên tố với từng giá trị i.

THUẬT TOÁN TÍNH TỔNG CÁC CHỮ SỐ CỦA MỘT SỐ NGUYÊN

Ý tưởng là ta chia số đó cho 10 lấy dư (mod) thì được chữ số hàng đơn vị, và lấy số đó div 10 thì sẽ được phần còn lại. Do đó sẽ chia liên tục cho đến khi không chia được nữa (số đó bằng 0), mỗi lần chia thì được một chữ số và ta cộng dồn chữ số đó vào tổng.

Hàm tính tổng chữ số nhận vào 1 số nguyên n và trả lại kết quả là tổng các chữ số của nó:

func­tion tongcs(n:in­te­ger): in­te­ger;

var s : in­te­ger;

be­gin

            s := 0;

            while n <> 0 do be­gin

                        s := s + n mod 10;

                        n := n div 10;

            end;

            tongcs := s;

end;

Chú ý: Tính tích các chữ số cũng tương tự, chỉ cần chú ý ban đầu gán s là 1 và thực hiện phép nhân s với n mod 10.

THUẬT TOÁN EUCLIDE TÍNH UCLN

Ý tưởng của thuật toán Eu­clide là UCLN của 2 số a,b cũng là UCLN của 2 số b và a mod b, vậy ta sẽ đổi a là b, b là a mod b cho đến khi b bằng 0. Khi đó UCLN là a.

Hàm UCLN nhận vào 2 số nguyên a,b và trả lại kết quả là UCLN của 2 số đó.

func­tion UCLN(a,b: in­te­ger): in­te­ger;

var r : in­te­ger;

be­gin

            while b<>0 do be­gin

                        r := a mod b;

                        a := b;

                        b := r;

            end;

            UCLN := a;

end;

Chú ý: Dựa trên thuật toán tính UCLN ta có thể kiểm tra được 2 số nguyên tố cùng nhau hay không. Ngoài ra cũng có thể dùng để tối giản phân số bằng cách chia cả tử và mẫu cho UCLN.

THUẬT TOÁN TÍNH TỔNG CÁC ƯỚC SỐ CỦA MỘT SỐ NGUYÊN

Để tính tổng các ước số của số n, ta cho i chạy từ 1 đến n div 2, nếu n chia hết cho số nào thì ta cộng số đó vào tổng. (Chú ý cách tính này chưa xét n cũng là ước số của n).

func­tion tongus(n : in­te­ger): in­te­ger;

var i,s : in­te­ger;

be­gin

            s := 0;

            for i := 1 to n div 2 do

                        if n mod i = 0 then s := s + i;

            tongus := s;

end;

Chú ý: Dựa trên thuật toán tính tổng ước số, ta có thể kiểm tra được 1 số nguyên có là số hoàn thiện không: số nguyên gọi là số hoàn thiện nếu nó bằng tổng các ước số của nó.

CÁC THUẬT TOÁN VỀ VÒNG LẶP

THUẬT TOÁN TÍNH GIAI THỪA MỘT SỐ NGUYÊN

Gi­ai thừa n! là tích các số từ 1 đến n. Vậy hàm gi­ai thừa viết như sau:

func­tion gi­aithua(n : in­te­ger) : longint;

var i : in­te­ger; s : longint;

be­gin

            s := 1;

            for i := 2 to n do s := s * i;

            gi­aithua := s;

end;

THUẬT TOÁN TÍNH HÀM MŨ

Trong Pas­cal ta có thể tính ab bằng công thức exp(b*ln(a)). Tuy nhiên nếu a không phải là số dương thì không thể áp dụng được.

Ta có thể tính hàm mũ an bằng công thức lặp như sau:

func­tion ham­mu(a : re­al; n : in­te­ger): re­al;

var s : re­al; i : in­te­ger;

be­gin

            s := 1;

            for i := 1 to n do s := s * a;

            ham­mu := s;

end;

THUẬT TOÁN TÍNH CÔNG THỨC CHUỖI

Thuật toán tính hàm ex:

Đặt:  và , ta được công thức truy hồi:

Khi đó, ta có thể tính công thức chuỗi trên như sau:

func­tion ex­pn(x: re­al; n : in­te­ger): re­al;

var s,r : re­al; i : in­te­ger;

be­gin

            s := 1; r := 1;

            for i := 1 to n do be­gin

                        r := r * x / i;

                        s := s + r;

            end;

            ex­pn := s;

end;